Наиболее важным понятием в теории вероятностей является понятие случайной величины.

Например:

• идя по улице, вы замечаете, что поток машин с течением некоторого промежутка времени меняет в силу независимых от нас обстоятельств;

• успеваемость ребенка в школе изменяется в силу многих обстоятельств;

• политика ценообразования также претерпевает изменения в результате некоторых неведомых нам причин и т.д..

Данный список бесконечен, причем каждый может с легкостью его продолжить. Казалось бы, что приведенные примеры все разносторонние, однако в них присутствуют что-то повторяющееся:

1. в любом из примеров присутствует величина, отражающая некоторое случайное событие;

2. любая из величин характеризуется числовым значением, изменяющимся в зависимости от результатов случайных исходов.

Итак, случайной величиной называется числовая функция, определяемая результатами элементарных исходов. Обозначается случайная величина прописными латинскими буквами: Z = Z (u); а соответствующие их значения – строчными или если случайная величина Х принимает значение х, то её можно записать как: Х = х.

Случайная величина является дискpетной, если можно перечислить все возможные значения, которые она может принимать в результате наблюдений.

Примеры: количество прошедших автомобилей за определенный промежуток времени; число оценок «5» за проведенную контрольную работу; количество очков, выпавших при подбрасывании двух игральных кубиков; число космических объектов; количество лебедей в водоёме т. д.

Случайная величина является неnpеpывной, если она может принимать любое значение из некоторого интервала.

Примеры: результаты измерения физических величин (массы, напряжения, температуры), размер и масса отдельных представителей приматов; моменты солнечных вспышек; энергия космических частиц и т. д.

Для того, чтобы описать случайную величину необходимо найти все значения х₁, х₂, ..., х_n, которые она принимает. Тогда мы получим события (X = x_k), где k = 1, 2, ..., n с определенными для них вероятностями. В результате,увидим наиболее часто встречаемые значения случайной величины или по-другому вероятность, с которой она принимает имеющиеся значение.

Законом pасnpеделения дискpетной случайной величины Х называют числовую функцию, которая       каждому значению х случайной величины Х ставит в соответствие вероятность P(X = х).

В общем случае закон распределения случайной величины оформляется в виде таблицы:

Где х₁, х₂, ..., х_n—различные значения случайной величины X, a p_k = P(X = x_k), k = 1, 2, ..., n — соответственно, вероятности этих значений.

Задача 1.  Проверка успеваемости класса показала, что из 27 учащихся: 5 детей – «отличники»; 14 – «хорошисты»; 5 – «троечники» и 2 – «двоечники». Запишите закон распределения.

Решение

Для того, чтобы решить задачу достаточно: найти вероятности для соответствующих значений и составить таблицу.

В данном случае приведенная случайная величина – дискретная, так как успеваемость можно подсчитать, и она ровна строго определенному числу. 

Успеваемость класса - случайная величина А, так как любой из учащихся всегда может начать учиться как лучше, так и хуже.

Найдем вероятности. Они равны: для учеников, которые получают оценку «5» - р₁ = 5/27 = 0,185; оценку «4» - р₂ = 14/27 = 0,519; оценку «3» - р₃ = 5/27 = 0,185; оценку «2» - р₄ = 3/27 = 0,111. Проверим себя, обязательно, вероятность р должна быть равна 1, т. е.

 р = р₁ + р₂ + р₃ + р₄ = 1; р = 0,185 + 0,519 + 0,185 + 0,111 = 1.

Тогда составим таблицу для распределения случайной величины А:

Задача 2.  Собранный урожай на одном участке включает х кг тыкв. Хозяин участка разделил по следующим группам: маленькие меньше 2 кг – было собрано 10 штук; средние от 2 до 4 кг – 15 штук; нормальные: от 4 до 6 – 21 штук и от 6 до 8– 25 штук, а также от 8 до 10– 14 штук; большие от 10 до 12 кг – 6 штук; огромные от 12 и выше – 4 штуки. Запишите закон распределения.

Решение

В данном случае представленная непрерывная случайная величина Х – сбор урожая.

Всего, получается, было собрано 95 тыкв.

Тогда соответственно, закон распределения имеет вид:

 Причем, Р = 1.

Итак, данная таблица – иллюстрация закона распределения для исходной непрерывной случайной величины.