В случаях, когда при проведении испытаний, вероятность появления события А в любом из опытов не зависит от результатов других опытов, то такое испытание называется независимым относительно события А.

     Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в любом из которых вероятность появления события равна р, изменяющееся от 0 до 1 (0 < p < 1), событие наступит ровно раз  (причем последовательность  неважна):

P_n (k) = C^k_n · p^k · q^n-k  или  

 формула Бернулли.

При этом   q = 1 – p.

    Важно: вероятность того, что в n испытаниях событие наступит:

1. менее k раз находится по формуле:   Р_n(0) + Р_n(1) + ….+ Р_n(k - 1)

2. более k раз:  Р_n(k + 1) + Р_n(k + 2) + ….+ Р_n(n)

3. не менее k раз:  Р_n(k) + Р_n(k + 1) + ….+ Р_n(n)

4. не более k раз:Р_n(0) + Р_n(1) + ….+ Р_n(k)

​

       Задача 1. Двое друзей решили посоревноваться. Каждый из них поставил на свою любимую футбольную команду. Что вероятнее, выиграть 3 из 5 партий или же 2 из 4 (при этом, возможность ничьей не рассматриваются)?

Решение

     Двое друзей имеют одинаковую вероятность выиграть, т.е. р = 0,5; соответственно и вероятности проигрышей также равны, т. е. q = 1 – p= 0,5.

      В связи с тем, что вероятности выигрыша постоянны и последовательность выигрыша также не важна, то, применив формулу Бернулли, сможем найти искомые вероятности.

1. Тогда вероятность того, что будут выиграны 3 из 5 партий равна:                                                                P₅ (3) = C³₅ · р³ · q²  = 10 · 0,125 · 0,25 = 0,313

2. А вероятность выигрыша 2 из 4 партий соответственно равна:                                                              P₄ (2) = C²₄ · р² · q² = 6 ·  0,25  · 0,25 = 0,375.

     Сравнив полученные вероятности, т. е. Р₄(2) > Р₅(3), можно заключить, что вероятность выигрыша двух партий из четырех выше, чем трёх их пяти, следовательно, вероятнее 2.

    Задача 2. Во время проведения учений подводная лодка выполняет один из тактических манёвров с вероятностью 0,6. Чему равна вероятность выполнения 7 маневров из 13.

Решение

   Вероятность успешного выполнения тактических маневров: р = 0,6; вероятность неудачного проведения учений q = 0,4; число независимых испытаний: n = 13, число наступивших событий: k = 7.

   Так как вероятность постоянна, последовательность не важна, следовательно, применяем формулу Бернулли:

  P₁₃ (7) = C⁷₁₃ · р⁷ · q⁶ = 132 ·  (0,6)⁷  · (0,4)⁶  = 0,197 или 19,7 %. 

Ответ: 0,197.

   Задача 3. Для сдачи зачета студенту необходимо правильно выполнить 3 задания. Студент может решить каждую с вероятностью . Готовясь к зачёту, студент решил, как минимум 16 предполагаемых задач. Если он выполнит хотя бы две из предложенных задач, то автоматически получит зачет. Какова вероятность успешной сдачи зачета? 

  Введем обозначения: событие А= {сдача зачета}. событие А₁ = {правильное выполнение одной задачи}; А₂ = {правильное выполнение двух задач}; А₃ = {правильное выполнение трёх задач}.

   С помощью формулы Бернулли мы сможем найти вероятности событий А₁; А₂; А₃:

Далее, найдем вероятности событий: (А/А₁) = {решено одно задание}; (А/А₂) = {решены два задания}; (А/А₃) = {решены все три задания}:

Используя формулу полной вероятности, найдем вероятность успешной сдачи зачёта:

Ответ: 0,65.