Не более двух веком минуло с момента появления науки теории вероятностей. Именно с того времени и до сих пор происходит её активное развитие и расширение научных отраслей. Так, возникли такие области естественнонаучных знаний: как теория надежности, теория массового обслуживания, теория управления запасами, статистика и прочее.

С исторической точки зрения такую новизну исследуемой науки можно обосновать тем, что любому человеку всегда проще принять какие-либо неслучайные явления, не же ли найти объяснения случайностям как объективным закономерностям.

Однако, можно вспомнить, что еще в древние времена в языческих храмах веления богов прогнозировались при помощи игральных костей. Любая кость насчитывала шесть граней, при этом только четыре из них были достаточно плоскими, чтобы кость могла на них упасть. Безусловно, это и служило причиной вмешательства богов в повседневную жизнь простых людей. К тому же научно доказано, что и в могилах фараонов также присутствовали игральные кости, причем двух видов: одни – правильные, а другие – со смещенным центром тяжести, которые наиболее часто и выпадали.

Важно отметить, что зарождением теории вероятностей можно считать XVII век. Так, первые работы Паскаля, Ферма, Гюйгенса относится именно к середине этого века, в которых они пытались провести вычисления в азартных играх. Причем, труд Гюйгенса, так и именуем: «О расчетах в азартных играх». В нем он не только выполняет всевозможные расчеты, но и приходит к мнению, что за этим стоит более сложная закономерность.

По мере своего развития теория вероятностей преодолела четыре этапа. Огромное значение в её становлении отведено таким ученым как А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, П. Л. Чебышов, А. А. Марков, В. Я. Буняковский и многим другим.

При этом наиболее высокий подъем получила теория вероятностей именно сегодня, получая распространение и применение во многих отраслях науки и техники.   

Изучение в школьном курсе математики элементов теории вероятностей, комбинаторики и математической статистики позволяет выявить универсальный характер стохастических методов, применяемых в самых разнообразных областях; определить потенциальные возможности для применения их в будущей профессиональной работе.

Так, например, проблема надежности. Нашу теперешнюю жизнь просто невозможно представить без мобильных телефонов, телевизоров, ПК, холодильников и прочей техники. Однако, если бы разработчики не обеспечивали надежность её долгого и качественного использования, то вряд ли бы они были бы кому-нибудь нужны. Ведь почти вся военная техника и прочие оборудования различных сфер жизнедеятельности автоматизированы, и малейшие ошибки могут привести к непоправимым событиям.

В Брюсселе в апреле 1958 года проводилось открытие Всемирной выставки. В её участие приняли огромное количество людей. Организаторы выставки для размещения приезжих гостей прибегли к помощи специальной вычислительной машины, которая содержала все адреса гостиниц со свободными местами. Так, в результате небольшой ошибки она выдавала неверные данные. В результате, больше пятидесяти тысяч человек остались на улице. И несмотря на то, что утром проблема была устранена, данный инцидент надолго запомнился многих участникам выставки.

Поэтому неполная надежность применяемого современного устройства или оборудования может привести к достаточно сложным проблемным ситуациям. В связи с этим теория надежности и является столь актуальной в своем изучении.

Задачи массового обслуживания. На данный момент мы все привыкли, что при какой-либо поездке можно заранее, не выходя из дома, забронировать, купить или обменять билеты. При этом мало кто обращает свое внимание на то, что планирование и реализация данных автоматизированных систем опирается именно на основы теории вероятностей.

Теория информации также поддерживается знаниями теории вероятностей. Вы набираете номер телефона и в этот же момент вам отвечают, при этом немногие интересуются вопросами: а как высчитываются линии, не пересекающиеся друг с другом и не заставляющие вас ждать?

 Каждый день мы, осознавая это или нет, создаем прогнозы: какая сегодня будет погода; какое количество урожая мы получим в этом году; какая футбольная команда выиграет турнир; кто из лошадей придет первым и так далее.

Свое многочисленное влияние теория вероятностей оказывает на такие области человеческой деятельности как: статистика, демография, страхование, антропология и прочее.

 Часто ли вы размышляете над такими вопросами: случайно ли упало яблоко на голову Ньютона, и он открыл один из самых известных законов всего человечества; открытие рентгеновских лучей, путем малейшего затемнения фотопленки, просто случайность; а изобретение пенициллина при изучении влияния плесени на бактерий?  А знает ли кто-нибудь, что случай стал причиной для принципа висячих мостов?  Одним поздним вечером уставший ученый вышел на улицу, и на лицо ему попала паутина, и в этот момент он понял, что можно взять принцип того, как пауки перекидывают свою паутину через деревья, в основу для проектирования висячих мостов. Так, случайность смешения холистерилбензоната с оливковым маслом привела австрийского ботаника Ф. Рейница к открытию «мягких кристаллов», в последующем названных жидкими кристаллами.

А у кого из нас не ломался телефон во время важных переговоров или телевизор перед важным хоккейным матчем; а кто не опаздывал на самолет или поезд по вине незначительной случайности; стоя на автобусной остановке, разве вы не задаетесь вопросом: какой автобус придет быстрее? 

Безусловно, все проконтролировать и предусмотреть просто невозможно, выявив малейшие причины происходящих событий. Однако, наличие хотя бы основных знаний об объективных закономерностях, составляющих сущностные элементы теории вероятностей, решительно помогут современному человеку приспособься к столь быстро развивающемуся информационному миру.

Про случайность можно сказать, что она главенствует над самыми разнообразными отраслями человеческой деятельности. Так, известнейший математик XX века как сказал, что «Исчисление вероятностей – одна из наиболее увлекательных и вместе с тем доходчивых отраслей математики. Только из соображений традиций, чтобы не сказать рутины, основы этой дисциплины не вошли в программу средней школы…» [4, с. 8].

Давайте рассмотрим примеры, позволяющие применять известные нам правила вычисления вероятностей.

Но в начале вспомним принципы Лапласа, отмечающие, что исчисления вероятностей осуществляется в три этапа:

1. устанавливается совокупность равновозможных случайностей, содержащая в себе все необходимые нам события;

2. определяется количество равновозможных случаев;

3. выясняется число благоприятствующих случаев, указанных в данной совокупности.

Итак, первый пример: Александр взял 35 лотерейных билетов из 100, среди которых 4 выигрышных. Какова вероятность того, что Александр вытянет выигрышный билет и при этом только один?

Первое, что можно сделать, представить совокупность в виде числа сочетаний по 35 билетов из 100. Далее, выберем из 100 билетов 4 выигрышных. В результате, перед нами будет две стопки, в первой содержатся 4 выигрышных билета, а во второй - 96 простых. Затем, возьмем один билет из первой стопки и к нему доложим ещё 34 билета из второй. В итоге, из первой стопки мы можем

выбрать билеты       способами.

И после к любому из вытянутых билетов из выигрышной стопки можно

добавить 34 билета из 96 невыигрышных       способами,

т. е. получим  

          способов выбора 35 билетов из 100, при условии, что только один является выигрышным.

А искомая вероятность равна    

    .

Сегодня очень известна лотерея, в которой нужно зачеркнуть 6 номеров из 36. А заинтересовывались ли вы, сколькими способами это можно выполнить?

Составим сочетание по 6 элементов из 36:  

  ,

т.е. получается, что возможность выиграть равна одному почти из 2 миллионов.

Выходит, что для того, чтобы получить главный приз необходимо заполнить самыми разнообразными способами 1 947 792 билета.

Следующий пример, предположим, что линия электропередач между двумя пунктами, расстояние между которыми 75 км, повреждена на неизвестном участке. Какова вероятность тог, что она повреждена не более чем в 15 км?

Вначале, можно представить данную линию электропередач в виде суммы участков, дина которых равна, например, 1 м (возможна и другая единица измерения). И так как все эти участки однородные, то будем считать, что неисправность любого метра линии равновозможна. Получится совокупность равная 75 000 частей, а совокупность благоприятствующих исходов – 15 000, т.е. вероятность равна      

С другой стороны, рассмотрим плоскость, в которой расположена некоторая область А, содержащая в себе другую область Б. Представим, что в область А случайно попадает некая точка. Найдем вероятность того, что именно эта точка попала и в область Б. Тогда, вероятность оказаться этой точки в какой-либо части области А пропорциональна площади этой части, и при этом она не зависит ни от формы области, ни от её расположения.

Следовательно, вероятность оказаться в области Б равна -    

 ,              что является геометрической вероятностью. Вернемся к примеру, пусть область А – это вся линия электропередач. Тогда

 ,

Рассмотрим ещё один пример -  игра «больше восьми очков». Суть игры заключается в следующем, вы подкидываете две игральные кости, каждая грань из которых равна 6. Для того, чтобы вы одержали победу, число выпавших очков на обеих сторонах костей должно не быть больше 8.

Итак, при подкидывании одной игральной кости, для каждого броска возможно 6 исходов. При одновременном подбрасывании двух игральных костей, для каждого броска уже возможно 36 различных исходов, при чем 6 исходов для первой кости и 6 – для второй.

Построим таблицу, которая будет изображать все 36 возможных исходов:

Наглядно изображено, что совокупность равнозозможных исходов представляет собой разнообразную комбинацию, составленную в виде суммы очков с двух граней. В общей сумме число всех комбинаций равно 36, а благоприятствующих исходов (т.е. их сумма больше 8) – 10.  И получается, что вероятность выигрыша определяется как отношение благоприятствующих исходов к общему число всех случаев:          

А теперь приведем примеры, показывающие какие ошибки могут возникнуть при вычислении вероятностей. Сперва вспомним одно из главных правил Лапласа, четко определяющее, что все исходы в совокупности всегда должны быть равновозможными. Если это правило не учесть, то высчитанная вероятность будет неверна.

Итак,  контрпример – случай из истории, демонстрирующий какую одну из возможных ошибок можно совершить при подсчете вероятностей. Данный инцидент был представлен в книге «История математической теории вероятностей» Тодхантера. Состоялась игра, в которой бросали три игральных кубика. Двое игроков заключали пари, при чем первый утверждал, что сумма очков выпавших кубиков больше 10, а второй- что она меньше или равна 10.

Шевалье до Мере, наблюдая за игрой, пришел к выводу, что тот, кто ставит на сумму большую 10, а именно между 11 и 12, намного чаще выигрывает у другого игрока. Он это объяснял тем, что есть 6 различных комбинации, сумма которых равна 11, и такое же количество комбинаций для 12.

Вследствие этого он заключил, что выигрыш с 11 или 12 очками равновозможен. Другие же наблюдатели были с ним не согласны. Тогда Де Мере в порыве гнева отправил письмо Паскалю, в котором изложил свои рассуждения о том, что математика как наука не состоятельна. Ответ Паскаля долго не заставил себя ждать. В его письме говорилось о том, что комбинации, которые составил Де Мере не равновозможно, а все его заключения ложны. Так, Паскаль указал на то, что комбинации 6+4+1; 6+3+2, 5+4+2, сумма которых равна 11, и комбинации 6+5+1; 6+4+2, 5+4+3, составляющие 12, оказываются непростыми, а шестикратными.

Так, предположим, что у вас есть три кости разных цветов, а именно белая, желтая и голубая (соответственно Б, Ж, Г). Получим, что к любой из этих комбинаций можно прийти шестью способами. Для первой комбинацию 6+4+1:

6, 4, 1 - Б, Ж, Г; Б, Г, Ж; Ж, Г, Б; Ж, Б, Г; Г, Б, Ж; Г, Ж, Б.

В комбинациях где присутствуют только два отличных друг от друга числа, являются трехкратными – 5, 5, 1; 5, 3, 3; 4, 4, 3; 6, 3, 3; 5, 5, 2.

Так, для комбинации – 6, 3, 3: Б, Ж, Г; Ж, Г, Б; Г, Ж, Б. 

А, например,комбинации – 4, 4, 4 возможно только в одном случае.

Просуммировав представленные ранее комбинации, мы и получим реальное число всех разновозможных исходов для 11 и 12 очков.

Для 11 очков 3·6 + 3·3 - 27 - равновозможных способов с условием, что первые три комбинации – шестикратные, а последующие три – трехкратные.

Для 12 очков 3·6 + 3·2  +1  - 25 - равновозможных способов.

Так как всего 6·6·6 = 216 возможных исходов, что и составляет совокупность равную 216. Значит, вероятность выпадения 3 кубиков, сумма которых равна либо 11, либо 12 есть:    

Следовательно, данные вероятности никак не могут быть равными. Стало быть, предположения де Мере первоначально были ошибочными из-за того, что рассматриваемые им исходы были неравновозможными.

Таким образом, приведенные примеры изображают все многообразие сторон, на которые теория вероятностей оказывает большое влияние.

Сегодня огромное значение как в естественно-научных, так и в гуманитарных дисциплинах отводится вероятностно-статистическим знаниям. Так, например, науки как физика, кибернетика, биология, лингвистика, химия, социология и многие другие не могут обойтись без вероятностно-статистических рассуждений и выводов. А это в свою очередь увеличивает темпы развития последних научных течений, базирующихся именно на вероятностных методах. 

Все перечисленные примеры отображают важность изучения в школьной программе стохастического материала.  

Прослушаем видео-обзор задач по теории вероятностей, которые могут быть на ЕГЭ: