В теории вероятностей и математической статистике занимают отдельное положение универсальные модели и методы, позволяющие изучать случайные явления. Ярким образцом данного утверждения служит функция Гаусса, разработанная  немецким математиком астрономом, геодезистом и физиком К.-Ф. Гауссом (1777-1855).

Гауссова функция имеет вид:

График функции y=ϕ(x) называют гауссовой кривой. Это «колоколообразная» кривая. Она имеет единственную точку максимума, симметрична относительно оси ординат, площадь под этой кривой равна единице. 

Функция Гаусса является функцией плотности нормального распределения.

Кривая Гаусса по форме несколько напоминает колокол, поэтому график нормального закона часто еще называют колоколообразной кривой. Если вдруг увидите термин «колоколообразная кривая», знайте, что речь идет о нормальном распределении.

Как видно, у графика имеется «горб» в середине и резкое снижение плотности по краям. В этом заключается суть нормального распределения. Другими словами, вероятность того, что случайная величина окажется около центра гораздо выше, чем то, что она сильно отклонится от середины.

На рисунке выше изображены два участка под кривой Гаусса: синий и зеленый. Основания, т.е. интервалы, у обоих участков равны. Но заметно отличаются высоты. Синий участок удален от центра, и имеет существенно меньшую высоту, чем зеленый, который находится в самом центре распределения. Следовательно, отличаются и площади, т. е. вероятности попадания в обозначенные интервалы.

Функцию Гаусса также можно задать формулой:    

В функции плотности нормального распределения присутствует: две математические константы

π – соотношение длины окружности и его диаметра, равно примерно 3,142;

е – основание натурального логарифма, равно примерно 2,718;

два параметра, которые задают форму конкретной кривой

а - математическое ожидание (в различных источниках могут использоваться другие обозначения, например, µ или m);

σ² - дисперсия;

переменная x, для которой высчитывается значение функции, т.е. плотность вероятности.

Итак, конкретная форма нормального распределения зависит от 2-х параметров: математического ожидания (m) и дисперсии (σ²). Кратко обозначается N(m, σ²) или N(m, σ). Параметр m (математическое ожидание) определяет центр распределения, которому соответствует максимальная высота графика. Дисперсия σ² характеризует размах вариации, то есть «размазанность» данных.

Плотность нормального распределения не имеет прямого практического применения (если не считать приближенных расчетов при использовании биномиального распределения). 

Для наглядной демонстрации действия гауссова закона распределения иногда используют специальное устройство — доску Гальтона (по имени её изобретателя). В нём сыплющиеся сверху одинаковые шарики распределяются по ходам между правильными шестиугольниками и в результате попадают на горизонтальную поверхность, образуя картинку, похожую на «подграфик» гауссовой кривой.

Посмотрите ролики, демонстрирующие принцип работы  доски Гальтона: 

Если ширина вертикальных столбцов гистограммы достаточно мала, а основания столбцов в объединении дают некоторый промежуток, то сама гистограмма похожа на график некоторой непрерывной функции, заданной на этом промежутке. Иногда такую функцию называют выравнивающей функцией.

Графики функций выравнивающих гистограммы похожи друг на друга. Все эти кривые распределения получаются из гауссовой кривой. Её часто называют кривой нормального распределения.

Задача 1. Используя модель доски Гальтона, подсчитайте:

1)чему равно число шаров, попавших в ячейки и ожидаемое число их попаданий, если а. шаров 100, а рядов 10; b. шаров 100, а рядов 29;

2) сколько было выпущено шаров, если математическое ожидание равно 18,87, дисперсия – 3,04, а число рядов 37;

3) какое среднее значение случайной величины Х и площадь гауссовой кривой, если 18 рядов, а количество шаров: а. 1343, b. 581?

Решение

1. Запускаем интерактивный модуль «Доска Гальтона», которая представленная на сайте "Вероятность в школе"

Задаём данное в условиях задачи число рядов и шаров и получаем наш результат для случая «А» и «Б» в котором искомые данные представлены в таблицах, экспортируемых как Word, так и Exsel.

2. Воспользуемся виртуальной динамической моделью доски Гальтона, представленнjq на сайте Web in Math ,

Где указав значения параметров из условия, модель сама выполняет вычисление числа шаров в ячейках, строит столбчатую гистограмму

3. интерактивная модель представлена на Интернет-ресурсе Probability

Указав заданные значения ресурс производит автоматический подсчет запрашиваемых объектов

Нормальное распределение

Если случайная величина имеет нормально распределение с параметрами µ и σ², то

Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из отрезка [α; β] равна:

Задача 2. Автомат изготавливает патроны. Случайная величина Х – «ошибка выпуска негодной продукции», которая распределена нормально со среднем квадратичным отклонением 0,4 мм и математическим ожиданием 0,6 мм. Постройте график функции плотности распределения величины Х. Оцените вероятность того, что ошибка появления бракованных патронов больше 0,1 мм, но меньше 0,76 мм. Какое значение не превышает модуль ошибки с вероятностью 0,89.

Решение

Для решения поставленной задачи можно использовать готовую интерактивную таблицу, размещенную на сайте "Вероятность в школе"  или скачав Архив - интерактивная таблица, включающий саму таблицу и подробное к ней руководство. 

Применяемая таблица включает в свой состав ячейки для значений математического ожидания, стандартного отклонения, вероятности и интервала. Заполнив, которые мы мгновенно получаем искомую функцию, её график и требуемые задачей ответы