Немного истории. Во второй половине ХІХ века создатель российской школы теории вероятностей П. Л. Чебышёв (1821—1894) при помощи неравенства, носящего теперь его имя, получил в болеемобщей форме закон больших чисел — теорему Чебышёва. Условия применимости закона больших чисел в дальнейшем расширили русские математики А. А. Марков (1856—1922),А. Н. Колмогоров (1903—1992), А. Я. Хинчин (1894—1959).

Одним из основных частных случаев теорем теории вероятностей является закон больших чисел, открытый выдающимся математиком Чебышёвым. Сущность этого закона заключается в том, что несмотря на то, что конкретно взятая случайная величина принимает значения, сильно отличающиеся от среднего значения, а среднее арифметическое большого числа случайных величин поступает наоборот, т. е. значения случайной величины очень близки к её среднему значению. Проще говоря, закон больших чисел на практике используют для того, чтобы по сравнительно небольшой выборке (числа случайно отобранных исследуемых объектов) судить о качестве всей совокупности объектов. Так, например, для оценки качества собранного зерна проверяющие выбирают случайным образом отдельные зернышка из различных мест, и по ним судят о пригодности всей продукции. Заключения о качестве исследуемой продукции, сделанные на основании такой выборки, являются достаточно точными. Несмотря на то, что, казалось бы, исследуется небольшое число объектов по сравнению со всем количеством, но закон больших чисел позволяет точно оценить среднее значение одного исследуемого объекта, а значит и качество всей совокупности объектов. 

Например, одна партия собранного хлопка измеряет в тысячах тонн, поэтому проверить всю партию просто невозможно.  В связи с этим собирается случайное число хлопка и анализируется, и по полученным результатам говорить о всей партии. 

Теорема (закон больших чисел). Если случайные величины Х₁, ..., Х_n независимы и имеют одно и то же математическое ожидание (МХ = а) и дисnеpсию, то их сpеднее аpифметическое npи достаточно большом n с веpоятностью как угодно близкой к 1, будет как угодно мало отличаться от а.

Пусть Х₁, ..., Х_n — независимые измерения некоторой величины с одним и тем же математическим ожиданием а и одним и тем же средним квадратичным отклонением σ.

Если  

 то, как установлено ранее, MY = a,

При любом в соответствии с неравенством Чебышёва: 

Если число n велико, то правая часть последнего неравенства близка к 1, т. е. при достаточно большом n с вероятностью, близкой к 1, среднее арифметическое n случайных величин как угодно мало (меньше, чем на произвольное ε > 0) отличается от их математического ожидания.

На действии закона больших чисел основано исключение случайных ошибок измерения. Обычно с помощью измерительных приборов нельзя определить ее абсолютно точно. Существует некоторая погрешность измерения,обозначим ее через Х. Если MX − 0, то говорят, что прибор имеет систематическую погрешность. Изменив шкалу, можно добиться того, чтобы систематическая ошибка отсутствовала,

Особенность теоремы Чебышёва состоит в том, что она применима к любому распределению вероятностей с конечными средним значением и дисперсией.

Задача 1. Пусть событие А – выпадение 6 очков при подбрасывании игрального кубика имеет вероятность     Р (А) = 1/6; математическое ожидание равно 1/36. Сколько раз следует подбросить кубик, чтобы вероятность Р отклонения относительной частоты v = m/n от вероятности р =  1/6 на величину, большую 1/36 была меньше 1/100?

Решение

Воспользуемся неравенством Чебышёва: 

Подставим имеющие данные и получим: 

Получим уравнение

отсюда n = 18 000, следовательно для того, чтобы была вероятность Р отклонения относительной частоты v = m/n от вероятности р = 1/6 на величину, большую  1/36 была меньше  1/100 необходимо произвести 18 000 бросков игрального кубика.

Ответ: 18 000.

Задача 2. К важнейшим характеристикам крови человека относится резус-фактор. Ген «резус положительный» доминантен по отношению к гену «резус отрицательный». В одной из обследуемых популяций людей вероятность того, что человек имеет положительный резус-фактор, равна 0,91. Для случайной величины X — числа резус-отрицательных людей среди 1 000 человек этой популяции, найти:

1. математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение;

2. вероятность того, что абсолютная величина отклонения числа резус-отрицательных людей от его математического ожидания не превзойдет заданного положительного числа δ;

3. интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором  с вероятностью 0,9722 будут заключены возможные значения X.

Решение

 Известно, что случайная величина X  - число резус-отрицательных людей среди 1 000 человек обследованной популяции, и распределена она по биномиальному закону.

Общее число испытаний n = 1 000.

Событие A — это один человек, который является резус-отрицательным. Событие A в каждом из испытаний может, как произойти, так и нет.

Событие B — это один человек, являющийся резус-положительным. К тому же это противоположное событие к событию A.

Тогда P(B)  = q  =  0,91 => p = 1 – q = 0,09.

Обозначения: M(X) – математическое ожидание; D(X) — дисперсия; σ(X) - среднее квадратичное отклонение.

1. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение случайной величины X можно найти по следующим формулам:

M(X) = n · p = 1 000 · 0,09 = 90;

D(X) = n · p · q = 1 000 · 0,09 · 0.91 = 81,9;

2. Возможные значения случайной величины X равны x_i = m, где m — число появлений события A в n независимых испытаниях. При математическом ожидании величины X: M(X) = n · p, получим:

Отсюда, выразим  δ как  

Ранее мы указали, что δ - это целое число, поэтому  δ = 20.

И последнее получаем, что np - δ <.m < np + δ.

Отсюда,  70 < m < 110 или это также можно записать как  x_i - [70;110].

Ответ:

1. математическое ожидание равно 90; дисперсия равна 81,9; и среднее квадратичное отклонение равно 9,05;

2. вероятность того, что абсолютная величина отклонения числа резус-отрицательных людей от его математического ожидания не превзойдет заданного положительного числа  δ, равна 19,91 < 20

3. интервал, симметричный относительно математического ожидания, равен  [70; 110].