Закон распределения случайной величины содержит всю вероятностную информацию о ней, т. е.  позволяет найти вероятность любого события, имеющего отношение к данной исследуемой случайной величине. Однако наиболее простыми и эффективными являются некоторые постоянные числовые характеристики, характеризующие случайную величину. Среди таких характеристик особенно выделяется математическое ожидание.

Математическим ожиданием случайной величины Х называется среднее значение, которое находится по формуле: М (Х) = х₁р₁ +х₂ р₂ +…+х_nр_n или

Обозначается М(Х); МХ/

Так как при проведении испытаний случайная величина Х принимает одно из значений х₁;х₂;…х_k, то всегда должно выполняться равенство: р₁ + р₂ +…+ р_k = 1.

Математическое ожидание постоянной величины А есть сама эта величина, т.е. М (а) = а 1 = а.

Свойства М (Х).

1. Математическое ожидание суммы случайных величин Х и Yесть сумма математических ожиданий этих величин: М (X+Y) = M (X) + M (Y).

2. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин Х и Yесть произведение математических ожиданий этих величин:

М (X·Y) = M (X) · M (Y).

3. Постоянный множитель случайной величины Х выноситься перед знаком математического ожидания: М (с·Х) = с ·M (X).

4. Математическое ожидание от отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания равно нулю: M(X – MX) = 0.

5. Если Х > 0, то МX > 0.

6. Если X > Y, то МX > МY.

Задача 1. В региональные лотереи было выпущено 150 билетов. 50 выигрышных билетов позволят своим владельцам выиграть 15 руб., 35 билетов – 40 руб. и 15 билетов – 75 руб. Оставшиеся 50 билетов без выигрыша. Какой средний выигрыш соответствует одному билету?

Решение

Выигрыш является случайной величиной, который в данном случае характеризуется следующими числовыми значениями: 0 руб., 15 руб., 40 руб., 75 руб. с соответствующими ему вероятностями: р₁ = 50/150 = 1/3 = 0,33; р₂ = 50/150 = 1/3 = 0.33; р₃ = 35/150 = 7/30 = 0,23; р₄ = 15/150 = 1/10 приближенно 0,1.

Составим таблицу для распределения случайной величины:

Проверим себя, вероятность р должна быть равна 1, т. е. р = р₁ + р₂ +р₃ + р₄ = 1/3 + 1/3 + 7/30 + 1/10 = 1, следовательно, все верно.

Также можно заключить, что если бы вдруг кто-то купил бы все 150 билетов, то тогда он мог выиграть 75 руб. 10 раз; 40 руб. мог выиграть 23,3 раза; 15 руб. - около 33,3 раз и ничего не выиграть также около 33,3 раз.

Тогда подставив в формулу для нахождения математического ожидания, получим, что:

Таким образом, мы получили, что среднее значение выигрыша при покупке всех 150 билетов составит 21 рубль 83 копейки.

Ответ: 21,83.

Задача 2.  Проводилось соревнование по дартс. Мишень вращается, что усложняет возможность точного попадания дротиком в цель, так как цифры получаются размытыми, и игрок вынужден стрелять наугад. При попадании в сектор 1 игрок выиграет 5 руб., сектор 2 - 10, сектор 3 – 15, сектор 4 – 20, сектор 5 – 25; сектор 6 – 30, сектор 7 – 35, сектор 8 – 45. Стоит ли ему принимать участие в такой игре, если стоимость одного броска дротика равна 15 руб.

Решение

Для наглядного изображения эксперимента воспользуйтесь интерактивной моделью №177 "Рулетка" с сайта "1С .Математический конструктор", подраздел "Вероятность и статистика", первоначально задав указанные в условии  задачи параметры.  

В связи с тем, что мишень вращается, то навыки игрока не важны. Тогда попадание игрока в мишень есть случайность. Случайная величина Х - возможность выиграть, которая принимает следующие значения: 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 45.

Найдем соответствующие этим значениям вероятности, однако так как все сектора одинаковые, то и вероятность также будут равны, т. е. р =  1/8.

Подставив полученные данные в формулу: М (Х) = х₁· р₁ + х₂ · р₂ +…+ х_nр· _n, получим: М(Х) = 5 · 1/8 + 10 ·1/8 + 15 ·1/8  + 20 ·1/8 + 25 ·1/8 + 30 ·1/8 + 35 ·1/8 + 45 ·1/8  = 185/8 = 23,125.

Получается, что игрок платит за один бросок 15 руб., а среднее значение выигрыша составляет 23 рубля 125 копеек. Соответственно, бросать большое количество раз дротик – выгодно.

Ответ: 23,125.

Задача 3. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z, если известны математические ожидания и дисперсии Х и Y: 1. Z = X + 5·Y, при М (Х) = 8; М (Y) = 4; 2. Z =10·X - 4·Y, при       М (Х) = 3; М (Y) = 2. 

Решение

1. По свойству математического ожидания: Математическое ожидание суммы случайных величин Х и Y есть сумма математических ожиданий этих величин:   

М (X+Y) = M (X) + M (Y), а также постоянный множитель случайной величины Х выноситься перед знаком математического ожидания: М (с·Х) = с · M(X) получим: М (Z) =М (X + 5·Y) = М(X) +М (5·Y) = М(X) + 5·М (Y) = 8 + 5·4 = 28;

2. Аналогично: по свойству математического ожидания: математическое ожидание разности случайных величин Х и Y есть разность математических ожиданий этих величин: М (X - Y) = M (X) - M (Y), а также постоянный множитель случайной величины Х выноситься перед знаком математического ожидания: М (с·Х) = с·M(X) получим: М (Z) =М (10·X - 4·Y) = М (10·X) - М (4·Y) = 10·М (X) - 4 ·М (Y) = 10·3 – 4 ·2= 22;

Ответ: 28; 22.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата разности случайной величины Х и математического ожидания М(Х): D(Х) = М (Х - М(Х))² или D(Х) = МХ² – (МХ)² или

Обозначается D(Х) или DХ.

Свойства D (Х).

1. Дисперсия суммы случайных величин Х и Yесть сумма дисперсий этих величин: D (X+Y) = D (X) + D (Y).

2. Дисперсия произведения независимых  случайных величин Х и Yесть произведение дисперсий этих величин: D (X·Y) = D(X) ·D(Y).

3. Дисперсия разности случайных величин Х и Yесть сумма дисперсий этих величин: D (X - Y) = D (X) + D (Y).

4. Если С — постоянная величина, то D (X + С) = DX;

5. D(C·X) = С²·DX;

DС = 0.

D (-Х) = D (X).

Среднее квадратичное отклонение случайной величины Х есть корень квадратный из дисперсии случайной величины Х: .

Обозначается:    (сигма). 

Задача 4. Найдите дисперсию и средне квадратичное отклонение случайной величины Х, заданной дискретным рядом распределения:

Решение

Дисперсия находится по формуле:D(Х) = МХ² – (МХ)² или

Подставляя значения из таблицы в формулу, получим:     D (Х) = ((-1)²· 0,2 + 0²· 0,22 + 1² · 0,4 + 2² · 0,2 + 5² · 0,05) – (-1 · 0,2 + 0 · 0,15 + 1 · 0,4 + 2 · 0,2 + 5 · 0,05)² = 2,25 – (0,85)² = 2,25 – 0,7225 = 1,5275.

Тогда средне квадратичное равно  

Ответ: 1,5275; 1, 24.

Задача 5. Анализ всевозможных моделей экономического развития предприятия ОАО «Энергия» и их влияния на получение дохода привел к результатам, представленным в таблице:

Найдите среднее значение ожидаемого дохода, его дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Решение

Пусть случайная величина Х – доход предприятия ОАО «Энергия».

Таким образом, получается, что стандартное отклонение в размере 8490000 денежных единиц показывает, что в данном случае присутствует значительный риск. Доход вполне может оказаться на 8 490 000 денежных единиц выше или ниже среднего значения в 3 000 000 денежных единиц.

Ответ: 3; 72; 8,49.