Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (последовательность не важна), приближенно равна (при этом чем больше n, тем точнее вероятность):

Значения функции находятся в таблице для функции  ф (х). 

Важно помнить, что функция  ф (х)  - четная

=>  ф (-х)  =  ф (х). 

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна:Для нахождения значений используют таблицу функции Лапласа для х:

0 , если же х>5, то автоматически Ф(х) = 0,5.

Функции Лапласа нечетная, т.е. Ф (-х) = - Ф(х).

Задача 1. Найдите вероятность того, что число зачисленных абитуриентов в институт психологии равно 86 из 250, подавших заявления. если вероятность зачисления для каждого абитуриента равна 0,35.

Решение

По условию задачи: р = 0.35; q = 0,65; n = 250;k = 86. В связи с тем, что n = 250 достаточно большое число, то целесообразней воспользоваться локальной теоремой Лапласа: 

По таблице № 1 значений функции Лапласа найдем значение при х = 0,2, т.е. ф (х) = 0,391.

Тогда вероятность зачисления 86 абитуриентов в институт психологии равна

Ответ: 0,052.

Задача 2. Известно, что вероятность появления в семье мальчика равна 40 %.  Сколько семей необходимо опросить, чтобы с вероятностью 0,75 утверждать, что в этих семьях родились мальчики, если всего в опросе участвовало 150 детей?

Решение

По условию задачи: n = 150; р = 0,4; q = 0,6.

Тогда, пусть было опрошено а– семей. Чтобы найти неизвестное а, при условии, что n p q > 10, воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

В результате, получаем неравенство: 

Из таблицы № 2 для функции Лапласа получаем соответствующие значения, при Ф(х) > 0,25, то х > 0,67. Тогда неравенство принимает вид:  

Следовательно, необходимо будет опросить 62 семьи, чтобы с вероятностью 0,75 утверждать, что в каждой из них ребенок – мальчик.

Ответ: 62.

Задача 3. Вероятность встретить на улице в солнечный день человека с зонтом равна 0,01. Чему равна вероятность того, что из 1 000 встречных мимо вас пройдет не более 4 человек с зонтами.

Решение

Пусть событие А – {мимо вас пройдет не более 4 человек с зонтами в солнечный день}; тогда событие А₀ – {мимо вас не пройдет ни один человек с зонтом в солнечный день}; событие А₁ – {мимо вас пройдет 1 человек с зонтом в солнечный день};событие А₂ – {мимо вас пройдет 2 человека с зонтами в солнечный день};событие А₃ – {мимо вас пройдет 3 человека с зонтами в солнечный день}; событие А₄ – {мимо вас пройдет 4 человека с зонтами в солнечный день}.

Получается, что событие А есть сумма событий А₀; А₁;А₂;А₃;А₄:

А = А₀+А₁+А₂+А₃+А₄.

Так как события А₀; А₁;А₂;А₃;А₄ несовместны, то соответственно вероятность события. А есть:

Р(А) = Р(А₀) + Р(А₁) +Р(А₂) + Р(А₃) +Р(А₄).

Ответ: 0,777.

Пользоваться таблицей несложно: вначале смотрим на столбец, а потом на строку, например, Ф(0,22) = 0,3894; Ф(2,99) = 0,0046.

Таблица значений локальной функции Лапласа (таб. № 1)

Таблица значений интегральной функции Лапласа (таб. № 2)