Теорема 1. Вероятность событие A, которое может наступить лишь при появлении одного из попарно несовместных событий (гипотез) В₁, В₂,…., В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность событие A:

P (A) =  P(В₁)  (A) + P(В₂)  P_В2 (A) + …+   P(В_n) P _Вn (A) – формула полной вероятности;

причем P(В₁) + P(В₂) + …+   P(В_n) = 1.   

       Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В₁, В₂, …., В_n, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности несовместных событий могут быть найдены по формулам Байеса:

где  P (В₁) · Р_В1 (A) + P(В₂)· Р_В2 (A)+…+P (В_n) ·  Р_Вn (A)

Однако в некоторых случаях,вероятность того, что получен результат В при определенных п исходах из произошедших для независимого события А равен: 

 Задача 1. При изготовлении партии детских игрушек выявлена часть, удовлетворяющая требованиям стандарта производства с вероятностью 0,89. Для более детального контроля выпущенной продукции, был проведен тестирующий эксперимент, который показал положительный результат с вероятностью 0,91, а для не прошедшей продукции – с вероятностью 0,13. Найдите вероятность того, что протестированная дважды продукция удовлетворяет всем требованиям стандарта производства.

Решение

           Составим полную систему гипотез: А - {продукция удовлетворяет требованиям стандарта производства}; В - {продукция не удовлетворяет требованиям стандарта производства}.

       Вероятности представленных событий до проведения соответствующего эксперимента равны: P₁ = 0,89 и      P₂ = 0,11.

       По условию задачи вероятности того, что продукция пройдет проверку контроля качества (гипотезы один и два) соответственно: p₁ = 0,91 и p₂ = 0,13.

    При проведении двукратной проверки продукции вероятность того, что она удовлетворяет требованиям стандарта производства, находится по формуле Байеса, но при многократном применении:

или 99,7 %.

   В результате, мы видим, что продукция вполне удовлетворяет всем требования стандарта. Однако, важно учесть, что в 3 случаях из 1000 возможно попадание бракованных изделий.

Ответ: 0,997.

  Задача 2. Стрелок произвел выстрел из трех револьверов. Две пули попали в мишень. Найдите вероятность того, что первая пуля является одной из попавших в мишень, если вероятности попадания первой, второй и третьей пули соответственно равны: р₁ = 0,32; р₂ = 0, 27; р₃ = 0, 47.

Решение

      Пусть событие А = {две пули попали в мишень}. Тогда сформулируем следующие гипотезы (или независимые события): В₁ = {первая пуля попала в мишень}; В₂ = {первая пуля не попала в мишень}.

     По условию: Р(В₁) = 0,32, а соответственно противоположное событие: q = 0,68.

       Теперь найдем вероятность того, что в мишень попало 2 пули, при условии, что первая пуля была выпущена из первого револьвера, вторая – соответственно из второго, если, стреляя из третьего револьвера, он промахнулся или же третья пуля из третьего револьвера (при условии, что из второго револьвера был допущен промах), т. е. условную вероятность P_В1(А).

     Так как события несовместны, то мы можем использовать теорeму сложения вероятностей: 

 P_В1 (А) = р_{2 ·} q₃ + р₃ ·  q₂ = 0,27 · 0,53 + 0,47 · 0,73 = 0,143 + 0,343 = 0,486.

        Найдем также вероятность того, что в мишень попало 2 пули, причем из первого револьвера стрелок допустил промах. В результате получим вероятность попадания двух пуль в мишень из второго и третьего револьверов, т.е. опять условную вероятность:

P_В2 (А) = р₂· р₃ = 0,27 · 0,47 = 0,13.

      В результате, подставив полученные данные в формулу Байеса, мы получим вероятность попадания пули из первого револьвера в мишень:

Ответ: 0,82

    Задача 3. При обследовании больного выявилось подозрение на одно из трех заболеваний: А,  В, С. Их вероятности соответственно равны: 0,3; 0,4: 0,6. Для более подробного установления диагноза был проведен ещё и тест, так были получены следующие положительные результаты: вероятность 0,6, что это болезнь А; вероятность 0,7 – болезнь В; вероятность 0,8 – болезнь С. Данный тест был выполнен четыре раза, из которых три положительных  результата и один отрицательный. Найдите вероятность каждого из трех заболеваний после проведения диагностического теста.

Решение

     Применив правило умножения вероятностей, мы можем найти вероятность проведенных исходов теста для выявления заболевания А: р₁ =  C⁴₅ · (0,6)² · 0,4 = 0,259. Аналогично для вероятности выявления заболевания В: р₂ =C⁴₅ · (0,7)² · 0,3 = 0,36  и вероятности - заболевания С: р₃ = C⁴₅ · (0,8)² · 0,2 =  0,41.

        По формуле Байеса найдем вероятность заболевания А после проведения диагностических тестов:

    Так как представленные события составляю полную систему событий, которая всегда равна 1, то можно себя проверить: Р(А)+Р(В)+Р(С)=0,67+0,12+0,21=1.

    Следовательно, выполненные вычисления верны.

Ответ: 0,67; 0,12; 0,21.