Событие А называется независимым по отношению к событию В, если появление события В не меняет вероятность появления события А. И наоборот, если появление события В изменяет вероятность события А, то событие А называется зависимым от события В.

Условной вероятностью события B, при условии,что событие A произошло, называется число, определяемое равенством:

Обозначается: Р_А(В) или Р (В/А). 

Теорема 1 (умножение зависимых вероятностей). Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р (А · В) = Р (А) · Р_А(В)

Задача 1. В отделе статистической обработки данных работают 9 мужчин и 5 женщин. По табельным номерам наугад были выбраны 4 человека. Найдите вероятность того, что все отобранные лица окажутся женщинами.

Решение

Пусть событие А – {первой была выбрана женщина}; событие В – {второй была выбрана женщина}; событие   С – {третьей была выбрана женщина}; событие                  D – {четвертой была выбрана женщина}. 

Вероятность того, что первой выбрали женщину: Р (А) = 5/14. Вероятность же того, что и второй раз выбрали женщину, при условии, что и до этого была женщина (а это условная вероятность): Р_А(В) = 4/13. Аналогично, вероятность, что в третий раз была отобрана женщина, с условием, что уже выбраны 2 женщины (также условная вероятность): Р_АВ(С) = 3/12 = 1/4. .Подобно и для четвертого случая,  вероятность, что уже выбраны 3 женщины: Р_АВС(D) = 2/11. 

Таким образом, получается, что вероятности того, что все отобранные работники – женщины:

 или же 0,5 %.

Ответ: 0,005

Задача 2.  По данным переписи населения 1893 г. Англии и Уэльса установлено: темноглазые отцы и темноглазые сыновья (ТТ) составили 8 % обследованных лиц, темноглазые отцы и светлоглазые сыновья (ТС) –9,1 %, светлоглазые отцы и темноглазые сыновья (СТ) –7,8 %, светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья (СС) - 69 %.  Найдите связь между цветом глаз отца и сына.

Решение

Из условия следует, что исходные вероятности:                    Р (ТТ) = 0,08; Р (ТС)= 0,091; Р (СТ) = 0,078; Р (ТТ) = 0,69.

Условная вероятность того, что сын темноглазый, при условии, что и отец темноглазый можно найти по формуле:

Условная вероятность того, что сын будет светлоглазым, при условии, что отец темноглазый - есть событие противоположное, которое определяется по формуле:  

Р_Т (С) = 1 -  Р_Т (Т) = 1 - 0,47 = 0,53 или 53 %.

Аналогично, условная вероятность того, что сын темноглазый, при условии, что отец светлоглазый:

Условная же вероятность того, что сын будет светлоглазым, если и отец светлоглазый – также событие противоположное, следовательно:

Р_C (С) = 1 -  Р_C (Т) = 1 - 0,102 = 0,898 или 89,8 %.

Ответ: 0,47; 0,53; 0,102; 0,898.

Теорема 2 (умножение независимых вероятностей). Вероятность появления двух независимых событий есть произведение вероятностей этих событий:  .

Следствие 1. Вероятность появленияn независимых событий есть произведение вероятностейn событий:

Задача 3. Марина, готовясь к экзамену, один из вопросов разыскивает в трёх учебниках.Вероятности того, что требуемый вопрос находится в первом, втором и третьем учебники соответственно равны 0,54; 0,82; 0,73. Найдите вероятность того, что вопрос, искомый Мариной, находится: а) только в одном учебнике (событие А); b) только в двух учебниках (событие В); c) во всех трех учебниках (событие С); d) ни в одном учебнике (событие D).

Решение

Рассмотрим следующие события:

• А₁ - {вопрос находится в первом учебнике}, вероятность этого события рана: Р(А₁) = 0,54;

•  А₂ - {вопрос находится во втором учебнике}, её вероятность: Р(А₂) = 0,82;

• А₃- {вопрос находится в третьем учебнике}, вероятность этого: Р (А₃) = 0,73.

Вероятности же противоположных перечисленным событиям, соответственно:

•  P (Ä₁) = 1- Р (А₁) = 0.46;

• P (Ä2) = 0.18;

• P (Ä3) = 0.27.

Доля того, чтобы найти вероятности самих событий А, В, С и D, воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Ответ:а) 0.188; b) 0,47; c) 0,32; d) 0,022.