Наиболее простым и важным правилом для подсчета вероятностей является правило сложения.

Теорема 1 (сложение вероятностей несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:.Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 

Р(А₁ + А₂ +.....+Аn) = Р (А₁) + Р (А2)+....+ Р (А_n). 

Задача 1. На остановке Светлана ждет автобус № 7 или № 20. На эту же остановку приходят ещё автобусы четырех маршрутов: № 8, № 1, № 7, № 20. Предполагая, что автобусы перечисленных маршрутов прибывают в среднем примерно одинаково часто, то чему равна вероятность того, что первый подошедший автобус будет именно того маршрута, который ждет Светлана?

Решение

Вероятность того, что первым приедет автобус № 7 равна Р=1/4, вероятность,  что автобус № 20 также придёт первым - .1/4. Тогда искомая вероятность того, что первый подошедший автобус будет либо № 7, либо № 20: Р=1/4 + 1/4 = 1/2. Следовательно, вероятность появления первым автобуса № 7 или № 20 есть сумма вероятность появления каждого из транспортных средств.

Ответ: 1/2.

Задача 2. В лотереи было выпущена 5 000 билетов, из которых 8 выигрышных по 250 руб.,75 – по 150 руб., 320 – по 78 руб. и 400 – по 26 руб. Студент купил 1 билет. Какова вероятность того, что он сможет выиграть не меньше 78 руб.?

Решение

Введем следующее обозначение событий: пусть А – {выигрыш составит не меньше 78 руб.}; А₁ – {выигрыш будет равен 78 руб.}; А₂ – {выигрыш - 150 руб.}; А₃ – {выигрыш -250 руб.}.

Так как был куплен всего лишь один билет, то А = А₁ + А₂ + А₃, причем события  А₁ ; А₂ ; А₃,– попарно несовместные.  Р (А₁) = 0,064;  Р (А2) =  0,015; Р (А3) =  0,0016.

Следовательно: Р( А) = Р (А₁ + А₂ + А₃,) = Р (А₁) + Р (А2) + Р (А3) = 0,064 + 0,015 + 0,0016 = 0,0806 или 8,06 %.

Ответ: 8, 1 %

Теорема 2 (сложение вероятностей совместных событий).Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: .

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) - Р(АВ). 

Задача 3. На листах бумаги записаны числа от 1 до 24. Эти листы были помещены в ящик и перемешаны. При чем из этого ящика был вынут один лист бумаги. Какова вероятность того, что число, указанное на этом листе, будет либо простым, либо чётные? 

Решение:

Введем обозначения: событие А – {на изъятом листе простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13,17,19, 23};  В – {на изъятом листе чётные числа: 2, 4,6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}. Событие АВ – {на изъятом листе простое чётное число: 2}.

Так как события исходы эксперимента равновозможные, то

Р (А) = 9/24 = 0,375;  Р (В) = 12/24 =  0,5; Р (АВ) = 1/24 = 0,042.

В результате, получим: Р (А + В) = Р (А) + Р (В) - Р(АВ) = 

= 0,375 + 0,5 + 0,042 = 0,917 или 91,7 %.

Ответ: 0,917. 

Задача 4 (парадокс Монти-Холла).  Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Решение

При решении обычно рассуждают так, что ведущий всегда убирает пустую дверь, и вероятность появления автомобиля за двумя не открытыми дверями равна ½ вне зависимости от первоначального выбора. Однако это не правильно.

Дело в том, что первоначальным выбором участник делит двери: выбранная — А, а две другие — В и С. Тогда вероятность того, что автомобиль находится за выбранной дверью равна 1/3, а за другими — 2/3. Или можно сказать, что  вероятность того, что за первой дверью окажется автомобиль равна 33, 3%, за второй — 33,3% и за третьей — 33, 3%. Далее ведущий открывает дверь, являющуюся пустой, а это означает, что условные вероятности В и С варьируются либо «1», либо «0». Тогда вероятность наступления события В составляет 2/3 или 66,7%. Таким образом, вероятность появления события В выше, чем А; поэтому участник должен изменить свой первоначальный вариант ответа, чтобы выиграть. Задача решена.

Пример проекта, посвященного изучению парадокса Монти-Холла:https://globallab.org/ru/project/cover/izuchenie_paradoksa_monti_kholla.ru.html