Довольно часто можно встретить задачи, решить которые затруднительно, зная лишь классическое определение вероятности.

Пусть дан какой-то отрезок l, который является частью другого отрезка L. На отрезке L случайным образом была выбрана точка. Если мы положим, что вероятность попадания данной точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка, и при этом она не зависит от положения отрезка l относительно отрезка L, то мы получим, что вероятность определяется как:

.

Аналогично можно найти вероятность попадания точки на какую-то плоскую фигуру f, являющуюся частью другой плоской фигуры F, т.е.

.

Геометрической вероятность события А называется отношение меры области, которая благоприятствует наступлению события А, к мере всей

области:

; при чем мера области обозначается: mes.

Как правило, значение мер соответствует длине, площади, объему объекта и прочее.

Задача 1. В квадрат вписан круг. Найдите вероятность того, что случайно брошенная точка в квадрат окажется и в круге при условии, что все положения точки в квадрате – равновозможны.

Решение:

Oбозначим за mes g – площадь круга, т.е. mes g = ¶R², тогда mes G – есть площадь всего квадрата, равная площади его сторон, т.е.mes G = 4R²

Получаем, что вероятность попадания точки в квадрат и круг есть:

Ответ: 0,785

Задача 2. Задача Бюффона. Плоскость разделена параллельными прямыми, расстояние между которыми 2a. На плоскость наудачу было брошена игла длиной 2l, при чем l < a. Найдите вероятность того, что эта игла пересчёт какую-то из этих параллельных прямых (что является событием А).

Решение:

Oбозначим за x – расстояние от середины иглы до ближайшей из параллельных прямых, µ – угол, составленный иглой с этой параллельной прямой (рис.1).

Положение иглы полностью определяется заданными значениями x и µ .Возможны их значения: 0 < x < a, 0 < µ < ¶. Если выполняются неравенства, 0 < x < l · sinµ , 0 < µ < ¶., то игла пересекает прямую (рис. 3).

Таким образом, получаем: , и , .

Тогда: 

В результате, вероятность равна: .

Ответ: 2l/a¶

Для наглядного изображения подобного примера можно воспользуемся интерактивной моделью «1С: Математического конструктора» под названием «Игла Бюффона» №179  с сайта "1С .Математический конструктор", подраздел "Вероятность и статистика". 

1 шаг (рис. 5), отметим произвольный отрезок AB длины d=0,8 см и разделим плоскость на 6 параллельных прямых, находящихся на расстоянии r = 1 см друг от друга.

2 шаг, найдем значение   при условии, что r > d ( 1 > 0,8) количества пересечений отрезка AB с параллельными прямыми ни за один опыт, а, например, сразу за 70.

Так как вероятность случайного события (игла пересечет прямые случайное количество раз или вообще не пересечет) равна отношение удвоенного расстояния отрезка AB к числу

То выразив их этой формулы ¶ получим, что 

Интерактивная модель «Игла Бюффона» самостоятельно рассчитывает значение числа ¶ при определенном количестве опытов и дает оценку числу ¶.  При этом данный модуль вычисляет после каждого испытания, чему равна случайная величина – количество всех пересечений иглой прямых. После чего полученные данные заносятся в таблицу. Далее по значениям таблицы происходит вычисление частоты события (игла пересечет прямые случайное количество раз или вообще не пересечет), а уже по частоте осуществляется подсчет приближенного значения числа ¶  Затем строится график изменения оценки числа ¶

Контрпример, если задать значение длины иглы больше расстояние между прямыми (d > r). Длина отрезка AB d = 4 см, а расстояние между параллельными прямыми r = 1 см.

То, при проведении 111 опытов (рис. 6) получим значение числа ¶ = 35, 52 – а это неправда. Следовательно, формула неверна.

Задача 3. Задача о встрече. Два друга A и B договорились встретиться в определенном месте, однако каждый может прийти туда в любой момент времени между 11 ч и 12 ч и прождать в течение 30 мин. Если один из друзей к этому времени еще не пришел или уже успел уйти, то встреча не состоится. Найдите вероятность того, что встреча состоится.

Решение

Обозначим моменты прихода в указанное место друзей A и B соответственно через x и y.

В прямоугольной системе координат возьмем за начало отчета 11 ч, а за единицу измерения – 1 ч. По условию, 0 < x < 1; 0 < y < 1. Этим неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату OKLM со стороной, равной 1 (рис. 7).

Событие A (встреча двух товарищей) произойдет, если разность по абсолютной величине между x и y не превзойдет 0,5 часа, то есть

то встреча произойдет. Решение последнего неравенства есть полоса,

которая внутри квадрата на рис. 7 - заштрихованная область g.

Так как площадь области g равна площади квадрата G без суммы площадей двух угловых (не заштрихованных) треугольников, то получим:

Ответ: 0,75