Если наступление события А приводит к наступлению события В, то событие А называется благоприятствующим событию В,

Пример: при подбрасывании игрального кубика: события А₁ = {выпадение 1 очка},событие А₂ = {выпадение 3 очков}, события А₃ = {выпадение 5 очков}, события В = {выпадение 1 очка}, то события А_1, А_2, А₃ благоприятствуют наступлению события В.

Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий, благоприятствующих его наступлению, к общему числу всех элементарных событий, составляющих полную группу событий. Обозначается: Р (А).

Важно: вероятность вычисляется или в процентах, или в долях.

Число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А, обозначается как m, а общее число всех элементарных событий, составляющих полную группу событий, обозначается как n. В результате получаем формулу: 

Итак, для решения задач по нахождению вероятности наступления того или иного события необходимо правильно подсчитывать общее число всех элементарных событий и число m элементарных событий, благоприятствующих данному. К тому же часто используются формулы комбинаторики для определения числа m  и n.

Задача 1.  Игральная кость была подброшена один раз. Какова вероятность того, что на её верхней грани будет: нечетное число очков; число очков большее 4?

Решение:

1. Появление всех шести гранeй - это равновозможные события, т.е. n = 6, тогда нечетным числам очков соответствуeт грани со значениями 1, 3, 5, т.е. m = 3, следовательно,

2. Число очков, большее 4, может выпасть соответственно на двух гранях: 5, 6. Получается, что опять n = 6, а m = 2. И тогда  

 Ответ: 0,5; 1/3.

Задача 2.  Соревнованиях по волейболу за первое место борются 18 команд, в результате жеребьевки они были разделены на две группы, т.е. по 9 команды в каждой. При этом всегда первое место занимают 5 команд. Найдите вероятность того, что:

1. все лидирующие команды попадут в одну группу;

2. две лидирующие команды попадут в одну группу и три команды – в другую.

Решение

1. Пусть событие А = {все 5 лидирующих команд попали в одну группу}, событие В  = {2 лидирующих команд попали в одну группу; 3 - в другую}.

Тогда из 18 команд две группы могут быть собраны С⁹₁₈ способами, т.е.

Для события А благоприятствующими являются события, которые образуются в результате стольких способов, при которых пять лидирующих команд могут составить 9-ки с 4-мя командами из числа оставшихся 13 команд. В итоге получается, что первая и вторая группы могут быть укомплектованы С⁴₁₃ способами. Получается, что

Тогда

2. Аналогично, можно получить, что число благоприятствующих событий событию В есть

А число всех исходов так и остается:

В результате: .

Стоит отметить, что присутствие лидирующих команд сразу в двух группах более вероятно, чем в одной.  

Ответ:1/34; 12/17. 

Важно знать, что:

• Вероятность невозможного события равна 0:                                          Р (невозможного событяи) = 0;
• Вероятность достоверного события равна 1:                                        Р (достоверногособытяи) = 1;
• Вероятность любого случайного события А изменяется от нуля до единицы:

0 < Р(А) < 1  (значения 0 и 1 включая)

Задача 3. Как можно установить приближенное число рыб в водохранилище?

Решение: Пусть в водохранилище - x рыб. Вы поймали n рыб, при этом каждую из них вы отметили и отпустили назад. Через какой промежуток времени вы снова пришли на тоже место и приблизительно в такую же погоду. Вами было поймано m рыб, из которых k рыб, отмеченные вами ранее.

Тогда, пусть событие А = {пойманная и отмеченная рыба}.

В итоге . 

Однако, так как в водохранилище x рыб, из которых n рыб уже отмечены вами, то

Получаем, что: 

Ответ:.  mn/k.