Довольно часто на практике можно столкнуться с задачами, в которых требуется подсчитать число способов расположения n разных объектов на n местах. Такие расположения называются перестановками.

Перестановками из n элементов называются соединения из n элементов по n, которые образуют совокупность всех n элементов, отличных друг от друга только лишь порядком расположения. Наибольшее число таких соединений – число перестановок из n элементов, которое обозначается P_n  и вычисляется по формуле: P_n = n!, где n! =1·2·3·4….·n (читается как «n – факториал»), т.е. это произведении последовательных натуральных чисел.

Например, 15! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9·...·13·14·15 = 1 307 674 368 000,5 040; 

7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5 040, 1! = 1.

 Важно: 0! = 1.

Задача 1. Сколькими способами на шахматной доске можно разместить 8 фигур, которые не могли бы побить друг друга (рис. 4)?

Решение.

Из рисунка видно, что на каждой горизонтали вертикали должна находиться только одна фигура. Тогда число различных расположений есть число перестановок из 8 фигур: 8! = 1·2·3·4·5·6·7·8 = 40 320.

Ответ: 40 320.

Если число перестановок образовано из n элементов, среди которых определенные повторяются n₁·n₂·n₃·....·n_k число раз и  n₁ + n₂ + n₃ +....+n_k < n  то наибольшее число таких перестановок называется перестановками 

с повторениями, обозначается 

и вычисляется по формуле: 

Задача 2. Если в слове «задача» всевозможными способами переставлять буквы, то вероятнее, что получится слово, в котором три буква «а» будут идти по порядку или нет?

Решение. 

В случае, если бы все буквы были отличными друг от друга, то тогда число всех перестановок было равно: 6! = 720. Однако в слове «задача» есть три повторяющиеся буквы «а». 

В связи с этим общее число перестановок данного слова – 

При этом если букву «а» обобщить, то мы получим перестановку из 4 элементов: 4! = 24. В результате вероятность тог, что  в слове три буквы «а» 

будут идти по порядку, равна: 

А вероятность обратного: 

 Получается, что вероятней получить слово,в котором три буква «а» идут не по порядку. 

Ответ: вероятнее, что получится слово, в котором три буква «а» не будут идти по порядку.

Задачи, решение которых предполагает нахождение числа соединений из  n элементов по k элементам, сводятся к вычислению размещений.

Размещениями из n элементов по k элементов называются различные упорядоченные совокупности по k элементов из совокупности разнообразных n элементов, отличных друг от друга или по самим элементам n > k, или по их расположению. 

Обозначается: A^k_n (произносится как: «А из n по k» и вычисляется по 

формуле: 

Задача 3. Студентам очной формы обучения необходимо сдать 5 экзаменов за 10 дней. Сколькими способами можно составить для них расписание?

Решение. 

Дни сдачи экзаменов пронумеруем: 1, 2, …,10. Расписание сдачи экзаменов можно составить различными способами, например, вначале выбрав дни для проведения экзаменов (2, 4, 7, 9, 10), а потом уже и порядок их проведения. В результате, мы получаем возможность выбора 5 элементов из 10, причем различных не только по значениям, но и по расположению, т.е. размещение 5 из 10: 

 Ответ:30 240.

Если же приведены различные соединения по k элементов из каких-либо n элементов, отличающихся друг от друга либо самими элементами, либо их расположением, при чем любые из них могут повторяться до k раз (где n1 и k1), то такие соединения называются размещениями из n возможных элементов по k элементов с повторениями. 

Обозначается: 

 и вычисляется: 

Задача 4. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, если какая-то из этих цифр может повторяться?

Решение.

Всего размещений из цифр 0, 1, 2 получится: 

Однако необходимо учесть случаи, когда нуль займет первое место, и число станет уже пятизначным. Тогда из числа размещений с повторениями необходимо отнять число соединений, в которых первое место занимает 0. В этом случае число пятизначных чисел равно: 

А итоговое количество размещений -

 Ответ:486.

В случаях, когда порядок расположения элементов не существенен (например, место в полуфинале, ведь в финале может быть любой из них).

Для выполнения быстрого подсчета или проверки себя можно воспользоваться Онлайн-калькулятором № 1 для:  Нахождение числа перестановок из n элементов; Нахождение числа размещений из n по k; Нахождение числа сочетаний из n по k; 

Или же воспользоваться Онлайн-калькулятор № 2: Вычисление числа перестановок из n элементов; Вычисление числа размещений из n по k; Вычисление числа сочетаний из n по k; Вычисление математического ожидания дискретного распределения.

Сочетаниями из n элементов по m элементов (nm  называются всякие неупорядоченные совокупности по m элементов из n элементов, в которых порядок расположения элементов не важен, однако такие совокупности должны различаться элементами. 

Обозначается: C^m_{n  ,}  вычисляется: 

Задача 5. В коробке находится 30 проверенных и 6 бракованных лампочек, наугад достали 5 лампочек. Чему равна вероятность того, что:

1. все лампочки хорошие;

2. исправны лишь две.

Решение.

• Так как порядок изъятия лампочек не важен, то мы получаем неупорядоченную совокупность без повторений из 36 элементов по 5: 

Тогда сочетания предполагающие, что все экземпляры исправны есть неупорядоченная совокупность без повторений из 30 элементов по 5: 

Вероятность же такого исхода есть отношение:

• Сочетания элементов, рассчитанные на то, что два экземпляра исправны, возможны при условии, что достали две лампы хорошие, т.е. 

 и одну бракованную, т.е. 

Число, благоприятствующее выполнению данного случая: 435·6 = 2 610. Тогда вероятность того, что из вынутых предметов исправны лишь два –

Ответ: 0,38; 0,007.

Если же составлена неупорядоченная совокупность из n элементов по m элементов,в которой каждый элемент может встречать до m раз, то такая совокупность называется сочетаниями из n элементов по m элементов с повторениями. 

Обозначается: 

 и вычисляется по формуле: 

Задача 6. Постоянный клиент крупного универмаг получил два подарка. Всего их имеется пять различных видов. Скольким способами он сможет выбрать подарок, если любого вида можно получить до двух предметов.

Решение.

Можно обозначить все возможные виды подарков цифрами: 1, 2, 3, 4, 5. Тогда получим следующие комбинации: 1,2; 1,3; 1,1;1,4; 1,5; 2,2; 3,3; 5,5;4,5;4,4; 2,3; 2,4; 2,5; 3,4; 3, 5 – итого 15 вариантов.

Или же применим формулу сочетаний с повторениями:

Ответ: 15.

Задача 7. В домино играют четыре человек, они разделили между собой поровну 28 костей. Сколькими способами можно распределить кости?

Решение.

1 способ.  Пусть один из участников игры выбрал 7 костей С⁷₂₈ - способами. Следующему игроку уже предстоит отобрать 7 костей из 21 оставшейся, т.е. С⁷₂₁ - способами. Соответственно, другому - С⁷₁₄ - способами и последнему С⁷₇ - способами. В результате, получаем, что все кости могут быть разделены как: 

2 способ. Рассмотрим сможет ли порядок выбора костей повлиять на результат. Так, например, первому игроку достанется 4 кости, т.е. С⁴₂₈ -способа; второму – 3 кости, т.е. С³₂₄ - способа; третьему – 6 костей, т.е. С⁶₂₁ -способа; четвертому – 2 кости, т.е. С²₁₅ - способа. Тогда первому 3 кости, т.е. С³₁₃ - способа; четвертому – 5 кости, т.е. С⁵₁₀ - способа; третьему – 1 костей, т.е. С¹₅ - способа; второму – 4 кости, т.е. С⁴₄ - способа. В следствии этого количество всех вариантов: 

Однако, первый участник игры выбирал два раза, т. е. получается, что

вариантов в  раза больше за счет очереди; второй выбирал также два

раза, т. е. получается, что вариантов в  раза больше; аналогично третий,

т. е. получается, что вариантов в  раза больше; и соответственно

четвертый -  в  раза больше.

Итак, получается:

Таким образом, видно, что порядок выбора костей не оказывает никакого влияния на общий результат.

Ответ: 472 518 347 558 400.