Методом перебора возможных вариантов можно решать задачи при наличии небольших значений исследуемой величины. В случаях же, когда имеются большие числовые или буквенные значения исходной величины, данный метод является неэффективным, так как может привести либо к тяжелым рассуждениям, либо вовсе к отсутствию ответа. Поэтому в таких ситуациях целесообразно воспользоваться правилом сложения или произведения.

Допустим, что задана какая-либо совокупность объектов. Она разделена на две более мелкие совокупности m и k объектов. Положим, что из совокупности с m – объектами выбирается один объект, и аналогично независимо из совокупности с k – объектами также выбирается один объект. Тогда, чтобы ответить на вопрос: сколько всевозможных пар данных объектов можно при этом получить, используется формула: N = m·k, которая называется правилом умножения.

Оно формулируется: если объект А можно выбрать m способами, и после каждого подобного выбора другой объект В (независимо от выбора объекта А) - k способами, то пары объектов А и В можно получить mk  способами.

Приведем к рассуждениям следующие задачи.

Вначале вам предлагается просмотреть видео-урок по решению задач:

Задача 1. В классе 25 учащихся. Сколькими способами:

1. можно разделить между всеми ними два различных учебника;
2. можно разделить между всеми ними два различных учебника, при условии, что ни один из учеников не получит оба учебника.

     Решение.

1. Первый учебник может достаться любому из 25 учеников. Тогда второй учебник, не смотря на то, кому достанется – первый, может также быть получен любым из 25 учащихся. Так как формулировке нет замечания по поводу того, что каждому учащемуся должен быть доставлен не более одного учебника. В результате, общее количество способом выбора: 25·25 = 625;
2. Здесь уже говорится о том, что ни один из учеников не должен получить оба учебника. В следствии этого первый учебник может быть получен любым из 25 учеников, а второй – любым из 24 учеников. Тогда число способов выбора: 24·25  = 600. 

​​Ответ: 625; 600.

Задача 2.  Из города А в город В есть пять дорог, а из города В в город С –три дороги. Сколько дорог могут привести из города А в город С, если они проходят и через город В?

     Решение.

Соответственно из города А в город В есть пять различных способов добраться, а из города В в город С – три способа. В результате, общее количество способов (выбор из А в В и выбор из В в С): 5·3  = 15.  Ответ:15.

Правило умножения применимо и для любого конечного числа элементов: если элемент A₁ можно выбрать n₁ всевозможными способами, а элемент A₂ -  n₂ способами и т.д. элемент A_k - n_k, то k элементов A₁, A₂,..., A_k в данном порядке можно выбрать n₁·n₂·n₃·....·n_k   способами.

Задача 3. Номер автомобиля складывается из трех цифр и трех букв. Сколько можно составить различных номеров автомобилей, если в алфавите 32 буквы?

   Решение. 

Номер любого автомобиля содержит шесть различных символов. Тогда, например, первую букву можно выбрать 32 способами - n₁, вторую также - 32 способами - n₂ и третью аналогично - 32 способа - n₃. Цифру же можно подобрать десятью различными способами - n₄=n₅=n₆=10. В результате число всех возможных способов равно: 32·32·32·10·10·10 = 32 768 000. Ответ: 32 768 000.

Предположим, что в стакане находится n разноцветных карандашей, Случайным образом выбирается один карандаш. Сколькими способами можно его выбрать? Ответ, безусловно n способами.

Тогда разделим эти n – карандашей по двум стаканам: в первом будет m – карандашей, а во втором - k. Далее, случайным образом из какого-либо стакана достанем один карандаш. Опять, вопрос: сколькими способами это можно сделать? Соответственно, из первого стакана можно произвольно вынуть карандаш m различными способами, а из второго – k. Тогда всего получим: n=m+k – разнообразных способов.

Итак, правило сложения формулируется: если какой-то объект А можно выбрать m способами, а объект В - k способами (при чем k способы отличны от m способов), то объект или А, или В можно выбрать m+k способами.

Рассмотрим следующие задачи.

Задача 4. Сколько можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5:

1. Четных четырехзначных чисел из разных цифр;
2. Четырехзначных чисел, кратных 4 и состоящих из разных цифр.

Решение.

1.  Для данного случая возможны два исхода: искомое число оканчивается либо 0, либо любой другой - 1, 2, 3, 4, 5. Тогда количество четных четырехзначных чисел, составленных из разных цифр и заканчивающихся 0 равно: 5·4·3 = 60, а количество, заканчивающееся другой цифрой не равной 0 - 2·4·4·3 = 96. И в таком случае общее число комбинаций равно: 60+96= 156.
2. Для того, чтобы составить комбинацию четырехзначных чисел, кратных 4 и состоящих из разных цифр, надо рассмотреть семь способов их получения (так как на 4 будет нацело делиться только то число, которое будет составлено из двух последних цифр исходного порядка): 04, 12, 20, 24, 32, 40, 52. Среди них в трёх исходах содержится 0, а в четырех – его нет. И тогда получаемое количество будет равно: 3·4·3+·4·3·3 = 72. Ответ: 156; 72.

Задача 5. Из города А в город В есть пять дорог, а из города В в город С – три дороги. Причем из города А в город D можно добраться по двум дорогам, а из города D в город С – по четырем. Сколькими способами можно добраться из города А в город С?

     Решение.

Рассмотрим рис. 3, из него видно, что добраться из города А в город С можно либо через город В, либо через – D – две возможности. Тогда, чтобы подсчитать количество способов проезда из А в город С через город В, воспользуемся правилом умножения и получим: 5·3 = 15. Тогда число способов поездки из города А в город С через город D - 2·4 = 8. В результате сложения числа данных полученных способ получим общее количество способов: 15+8 = 23. Ответ: 23.

Важно знать, что при применении правила сложения не должно быть повторения способов выборы элемента из А с каким-либо способом выбора элемента из В, т.е. один и тоже элемент не должен присутствовать и в А, и в В. Если же такое повторение произошло, то формула сложения для получения числа способов видоизменяется: n+m-k где k – число повторений, и называется общим правилом сложения.

Задача 6.Сколько чисел находится в первой сотне, которые не делятся ни на 2, ни на 3?

Решение.

Вначале подсчитает количество чисел первой сотни, которые делятся или на 2, или на 3. Соответственно, каждое второе число из натурального ряда будет нацело делится на 2, а каждое третье – на 3. Тогда количество чисел, делящихся на 2 - 50, а на 3 – 33 (неполное частное 100 и 3). Однако среди данных чисел есть те, которые делятся и на 2, и на 3, т.е. на 6. Получается, что каждое шестое число из натурального ряда будет нацело делится на 6. В этом случае 16 чисел (неполное частное 100 и 6) первой сотни будут кратны 6. В результате, общее количество чисел в первой сотне, которые делятся и на 2, и на 3: 50+33-16 = 67. А количество чисел первой сотни, которые не делятся ни на 2, ни на 3: 100–67 = 33. Ответ: 33.