Сущность метода перебора вариантов можно продемонстрировать на следующих задачах.

Задача 1. Проводится игра. Из коробочки, содержащей три белых и два красных шара, наугад вынимают два. Ведущий, перед тем как достать шары, спрашивает у участников. Какое количество белых шаров можно достать?Будут изъяты шары одного цвета или же разных цветов?

Решение задачи можно выполнить либо подсчетом комбинаций различных исходов, либо за счет перебора комбинаций. Рассмотрим три различных способа для решения задачи.

Решение.

Первый – способ перебора  называется «дерево» возможных вариантов (за счет внешнего сходства с деревом). Обозначим белые шары цифрами 1, 2, 3; а красные – 4, 5.

Рис. 1  (http://stochastic5.ucoz.net/_ld/0/1_W3z.png ). Строим  "дерево" комбинаций при помощи  сервиса Google для построения mind map - www.coggle.it (войдя через учетную запись на Google или зарегистрировавшись).

Рис. 1 изображает дерево, а его ветви- разнообразные комбинации. Для того чтобы достать два шара, сперва вынем один шар, для которого существует пять различных вариантов – 1, 2, 3, 4, 5. Позже вынем ещё один шар из оставшихся четырех. Поэтому на рис. 1 от выбранных уже комбинации проведены ещё четыре отрезка, изображающие оставшиеся шары. В результате, получается 20 различных комбинаций изъятия шаров из корзины. При чем из них каждая комбинация повторяется дважды – 1, 2 и 2, 1; 3, 1 и 1, 3 и т.д. Поэтому, остается 10 комбинаций,  при этом   других вариантов для изъятия шаров нет. Ответ: 10.

Второй – способ кодировки.

Обозначение остается прежним. Рассматриваем возможные сочетания:

Сочетание 1, 2 означает, что изъяты два белых шара, сочетание 2, 1 свидетельствует о том же, поэтому его мы опускаем. Итак, получается снова 10 вариантов сочетаний для изъятия белых шаров, в трех из них – два белых шара (1, 2; 1, 3; 2, 3); в шести – один белый (1, 4; 1, 5; 2, 4; 2, 5; 3, 4; 3, 5); а в одном – белые шары отсутствуют (4, 5).

Можно заметить, что если игру повторить большое количество раз, то часто будет фигурировать комбинация с одним белым шаром. Соответственно, вероятность появления одного белого шара высока.

Для двух случаев, когда изъятые шары одного цвета или разных цветов, многократное повторение игры показывает, что вероятность изъять шары разных цветов намного выше, чем шары одного цвета.

Третий – способ набора точек и отрезков (используется, когда из некоторой группы объектов следует выбрать два её элемента). 

На рис. 2 шары представлены в виде точек A, B, C, D, E при чем никакие из них три точки не лежат на одной прямой. Соединяем каждые две точки отрезком прямой и получаем 10 отрезков. Каждый отрезов соответствует определённому варианту изъятия двух шаров из корзины.

Задача 2.  В кафе продаются пирожные четырех видов: бисквитные, песочные, заварные и миндальные. Светлана и Ольга решили купить по одному пирожному.

1. Сколько существует комбинаций данной покупки? 
2. Сколько существует комбинаций покупки, при которой Светлана и Ольга не выберут пирожные одного вида?
3. Сколько существует комбинаций покупки, если Ольга покупает два пирожных разных видов?

Решение.

1. Введем обозначения пирожных по заглавным буквам – Б, П, З, М.

Получили комбинации., всего их 16, и они все отличны друг от друга. 

2. В случае, когда Светлана и Ольга желают купить пирожные разных видов, уберём комбинации: НН; ММ; ЗЗ; ПП. Получим 12 комбинаций.
3. Когда только Ольга решает купить два пирожных разных видов, опять же исключает комбинации: НН; ММ; ЗЗ; ПП. И остается 6 сочетаний для выбора:

БП, БЗ, БМ, ПЗ, ПМ, ЗМ.

Ответ: 16; 12; 6.

Задача 3. Сколькими способами шесть шахматистов, среди которых два мастера спорта, можно разделить на две группы по трое человек, так чтобы в каждой из групп был как минимум один мастер спорта при условии, что:

1. группы будут участвовать одновременно в командных соревнованиях, проходящих в разных городах;
2. шахматисты будут играть между собой.

Решение.

Обозначим шахматистов – мастеров спорта цифрами – 1, 2; а остальных – буквами: а, б, в, г.

1. Составим следующие комбинации:

Стоит обратить внимание на 1 и 12 способы задания, которые отличны друг от друга, так, например, группа аб1 едет в город А, а группа вг2 – в город Б, и наоборот, вг2 – город А, аб1 – город Б. В связи с этим данные комбинации являются различными. Итого, получаем 12 вариантов разделения шести шахматистов на две группы.

2. В данном случае способы 1 и 12 являются одинаковыми: неважно группа аб1 играет с вг2 или же группа вг2 играет с аб1. Также и способы: 2 и 11; 3 и 10; 4 и 9; 5 и 8; 6 и 7. В результате, получаем шесть разнообразных комбинаций.

Ответ: 12; 6.

Следует отметить, что в первом случае предполагалось составить две различные группы, а во втором две не различные. Поэтому число способов уменьшилось в 2 раза.

Вашему вниманию предлагается видео-урок по методу перебора: